Question

已知函数f(x)=

mx+n

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的性质，建立方程关系即可求实数m，n的值．
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0即可．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即

m(-x)+n

1+(-x)2

=-

mx+n

1+x2

，
∴n=0，
∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴m=1
（2）由（1）得f(x)=

x

1+x2

，
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（t-1）+f（t）＜0，
得：f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∵f（x）在（-1，1）上为增函数
∴

-1＜t＜1 -1＜1-t＜1 t＜1-t

，
解得 0＜t＜

1

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用定义法证明函数的单调性，综合考查函数奇偶性和单调性的应用．