Question

9．已知数列{a_n}是公差d≠0的等差数列，而{a_n}中的部分项a_k1，a_k2，a_k3，…，a_kn组成的数列恰好为等比数列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17，求数列{k_n}的通项k_n．

Answer 1

分析 通过a₁，a₅，a₁₇成等比数列，计算可得a₁=2d，进而可得等比数列{a_kn}的公比q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$，从等差数列、等比数列两个角度写出${a}_{{k}_{n}}$的表达式，计算即得结论．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
根据题意可得：a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d），
整理得：2d²=da₁，
∵d≠0，∴a₁=2d，
∴q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{1}+4d}{{a}_{1}}$=3，
∴${a}_{{k}_{n}}$=${a}_{{k}_{1}}$•q^n-1=a₁•q^n-1=a₁•3^n-1，
又${a}_{{k}_{n}}$=${a}_{{k}_{1}}$+（k_n-1）d=a₁+（k_n-1）•$\frac{{a}_{1}}{2}$，
∴a₁+（k_n-1）•$\frac{{a}_{1}}{2}$=a₁•3^n-1，
∵a_n≠0，
∴k_n=2•3^n-1-1．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．