Question

14．已知数列{a_n}满足a_n=a_n-1-a_n-2（n≥3，n∈N^*），它的前n项和为S_n．若S₉=6，S₁₀=5，则S₂₀₁₅的值为2．

Answer 1

分析 a_n=a_n-1-a_n-2（n≥3，n∈N^*），可得a_n+1=a_n-a_n-1（n≥3，n∈N^*），于是：a_n+3=-a_n，即a_n+6=a_n．由于S₉=6，S₁₀=5，可得a₁₀=a₄=-a₁=-1，进而得出a₃．即可得出a₁+a₂+…+a₆=0．S₂₀₁₅=S_335×6+5=a₁+a₂+…+a₅=-a₆=a₃．

解答 解：∵a_n=a_n-1-a_n-2（n≥3，n∈N^*），
∴a_n+1=a_n-a_n-1（n≥3，n∈N^*），
即a_n+1=a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2-a_n-1=-a_n-2，
∴a_n+3=-a_n，即a_n+6=a_n，
即数列{a_n}是周期为6的周期数列，．
∵S₉=6，S₁₀=5，
∴a₁₀=S₁₀-S₉=5-6=-1，
则a₁₀=a₄=-a₁=-1，
又a₃=a₂-a₁，a₄=a₃-a₂，
∴a₄-a₃=a₃-2a₂+a₁
∴a₃-a₂+1=0，
又a₁+a₂+a₃=6，
∴a₃=2．
又a₁+a₄=a₂+a₅=a₃+a₆=0，
∴a₁+a₂+…+a₆=0．
∴S₂₀₁₅=S_335×6+5=a₁+a₂+…+a₅=-a₆=a₃=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题