Question

4．设命题p：函数y=lg（ax²+2x+a）的值域为R；命题q：存在x∈[1，3]使x²-2ax+4≤0成立，．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q真，假时的a的范围，结合命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围．

解答 解：关于p：当a=0时；y=lg2x，满足题意，
当a≠0时，ax²+2x+a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=2}^{2}-{4a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞1，
∴p为真时：a=0，或a＞1，
p为假时：a∈（-∞，0）∪（0，1]，
关于q：存在x∈[1，3]使x²-2ax+4≤0成立，．
命题q：a≥2，q为假时：a＜2；
如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假，
p真q假时：1＜a＜2，
p假q真时：无交集，
综上：1＜a＜2．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查对数函数的性质，考查解不等式问题，是一道中档题．