Question

14．正项等比数列{a_n}中，a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，求S_n．

Answer 1

分析 通过a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$与a₁²+a₂²+…a_n²+${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$作差，整理可得当n≥2时a_n=2^n-1，进而a_n=2^n-1，计算即得结论．

解答 解：∵a₁²+a₂²+…a_n²=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
∴a₁²+a₂²+…a_n²+${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$，
两式相减得：${{a}_{n+1}}^{2}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$-$\frac{{4}^{n}-1}{3}$=4ⁿ=2²ⁿ，
又∵a_n＞0，
∴a_n+1=2ⁿ=2^（n+1）-1，
∴当n≥2时，a_n=2^n-1，
又∵a₁²=$\frac{4-1}{3}$=1，即a₁=1，满足上式，
∴a_n=2^n-1，
∴S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．