Question

5．三个元件T₁，T₂，T₃正常工作的概率分别为$\frac{1}{2}\;，\frac{3}{4}\;，\frac{3}{4}$，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．
（1）在如图的一段电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（2）三个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）记“三个元件T₁，T₂，T₃正常工作”分别为事件A₁，A₂，A₃，电路不发生故障的概率为P₁=P[（A₂∪A₃）•A₁]=P（A₂∪A₃）•P（A₁），计算求的结果．
（2）如右图，图1中电路不发生故障的事件为（A₁∪A₂）•A₃，求得电路不发生故障的概率P₂=P[（A₁∪A₂）•A₃]=P（A₁∪A₂）•P（A₃）值，可得P₂＞P₁ ．在图2中，同理不发生故障概率为P₃=P₂＞P₁，命题得证．

解答 解：记“三个元件T₁，T₂，T₃正常工作”分别为事件A₁，A₂，A₃，则$P（{A_1}）=\frac{1}{2}\;\;，P（{A_2}）=\frac{3}{4}\;\;，P（{A_3}）=\frac{3}{4}$．
（1）电路不发生故障的事件为（A₂∪A₃）•A₁，
∴电路不发生故障的概率为P₁=P[（A₂∪A₃）•A₁]=P（A₂∪A₃）•P（A₁）=$[1-P（\overline{A_2}）•P（\overline{A_3}）]•P（{A_1}）$=$[1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}]×\frac{1}{2}=\frac{15}{32}$．
（2）如右图，此时电路不发生故障的概率最大．证明如下：
图1中电路不发生故障的事件为（A₁∪A₂）•A₃，
∴电路不发生故障的概率为P₂=P[（A₁∪A₂）•A₃]=P（A₁∪A₂）•P（A₃）=$[1-P（\overline{A_1}）•P（\overline{A_2}）]•P（{A_3}）$=$[1-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}]×\frac{3}{4}=\frac{21}{32}$，
∴P₂＞P₁ ．
图2不发生故障事件为（A₁∪A₃）•A₂，同理不发生故障概率为P₃=P₂＞P₁，命题得证．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．