Question

13．春兰公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

Answer 1

分析 （1）AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，设DP=y，则PC=x-y．运用三角形全等，结合勾股定理，可得y的关系式；
（2）记△ADP的面积为S₁，则S₁=（1-$\frac{1}{x}$）（2-x），运用基本不等式可得最大值，即有长与宽．

解答 解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y．
由 PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，
即有y=2（1-$\frac{1}{x}$），1＜x＜2，
（2）记△ADP的面积为S₁，则
S₁=（1-$\frac{1}{x}$）（2-x）=3-（x+$\frac{2}{x}$）≤3-2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=$\sqrt{2}$∈（1，2）时，S₁取得最大值．
故设计薄板的长为$\sqrt{2}$，宽为2-$\sqrt{2}$时，最节能．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题．