Question

已知关于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，并且抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当时，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂
∴△=4a²-4a（a+2）=-8a＞0，
解得：a＜0，
∵抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴f（2）＜0即f（2）=4-2（2a+1）+2a-5=-2a-3＜0，
解得：．
综上所述得：．
（2），
∵
∴，
①当，
即a≥0或a＜-2时，
=，
解得：（舍），
②当，
即-2＜a＜0时，
，
解得：a=-4或-1，∵-2＜a＜0，∴a=-1．
综上所述：a=-1．
分析：（1）由方程（a+2）x²-2ax+a=0有两个不相等的实数根x₁和x₂，利用根的判断式解得a＜0，再由抛物线y=x²-（2a+1）x+2a-5于x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，解得：．由此能求出实数a的取值范围．
（2）由，知，由此进行分类讨论，能求出实数a的值．
点评：本题考查实数a的取值范围的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．