Question

已知二项式（

x

-

1

3 x

）⁵展开式中的常数项为p，且函数f（x）=

1-x2 ，-1≤x≤0 3x2- p 10 ，0＜x≤1

，则

∫

1 -1

f（x）dx=

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,定积分

专题：二项式定理

分析：利用二项式展开式定理的知识先求出p，然后利用分段函数的积分公式求积分即可．

解答： 解：二项式（

x

-

1

3 x

）⁵展开式的通项公式为T_k+1=

C

k 5

（

x

）^5-k•（-

1

3 x

）^k=

C

k 5

（-1）^k•x

5-k

2

-

k

3

，
令

5-k

2

-

k

3

=0，即5k=15，
解得k=3，
∴常数项p=

C

3 5

×（-1）³=-10，
∴则

∫

1 -1

f（x）dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx，
∵

∫

0 -1

1-x2

dx的几何意义为半径为1的圆的面积的

1

4

，
∴

∫

0 -1

1-x2

dx=

π

4

，
∴

∫

1 -1

f（x）dx=

∫

0 -1

1-x2

dx+

∫

1 0

(3x2+1)dx=

π

4

+（x³+x）

|

1 0

=

π

4

+1+1=2+

π

4

，
故答案为：2+

π

4

．

点评：本题主要考查二项式定义的应用，积分的计算，要求熟练掌握积分的几何意义以及常见函数的积分公式，考查学生的运算能力．