Question

20．数列{a_n}满足a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$，n∈N^*．
（1）求a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设${b_n}=1+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，求证：$\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+…+\frac{1}{b_n^2}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系取n=1，2，3即可得出．
（2）利用数列递推关系即可得出．
（3）利用放缩与“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：令n=1，得a₁=1；令n=2，有a₁+2a₂=2，得${a_2}=\frac{1}{2}$；
令n=3，有${a_1}+2{a_2}+3{a_3}=\frac{11}{4}$，得${a_3}=\frac{1}{4}$．
（2）解：∵${a_1}+2{a_2}+…+n{a_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$，（1）式
所以，当n≥2时，${a_1}+2{a_2}+…+（n-1）{a_{n-1}}=4-\frac{n+1}{{{2^{n-2}}}}$，（2）式
两式相减得：$n{a_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，∴${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．
当n=1时，a₁=1也适合${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$（n∈N^*）．
（3）证明：${b_n}=1+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}=1+{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=n$，
当n=1时，$\frac{1}{b_1^2}=1＜\frac{7}{4}$；当n=2时，$\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}＜\frac{7}{4}$；
当n＞2时，$\frac{1}{b_n^2}=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，$\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+…+\frac{1}{b_n^2}＜\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}=\frac{7}{4}-\frac{1}{n}＜\frac{7}{4}$，
综合可得：$\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+…+\frac{1}{b_n^2}＜\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、放缩法与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．