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已知圆F:x2+(y-1)2=1,动圆P与定圆F在x轴的同侧且与x轴相切,与定圆F相外切.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知M(0,2),是否存在垂直于y轴的直线m,使得m被以PM为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出m的方程;若不存在,说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)设动圆P的半径为r,则|PF|=1+r.根据圆P与x轴相切,以及动圆P与定圆F在x轴的同侧,可得方程.从而可求动点P的轨迹C的方程.
(Ⅱ)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值,再利用数形结合求解,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(Ⅰ)设动圆P的半径为r,则|PF|=1+r.
设P(x,y),根据圆P与x轴相切,以及动圆P与定圆F在x轴的同侧,可得r=y>0,
所以,
化简得:x2=4y.
所以,动点P的轨迹C的方程为x2=4y(y>0).
(Ⅱ)设,则以PM为直径的圆的圆心为,半径
若存在满足题意的直线,设方程为y=a,则圆心到该直线的距离为
根据勾股定理,可得:该直线被圆所截得的弦长l满足:,即
要使l为定值,需且只需a=1.
所以,存在垂直于y轴的直线m:y=1,使得m被以PM为直径的圆截得的弦长恒为定值,定值为2.
点评:本题通过直接法得到抛物线的轨迹方程,有助于学生进一步梳理抛物线的概念,要注意y>0的发现.第二问实际考查的是直线与圆的位置关系问题,要求学生尽量利用几何条件解题:弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,知二求一.
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