Question

已知圆F：x²+（y-1）²=1，动圆P与定圆F在x轴的同侧且与x轴相切，与定圆F相外切．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知M（0，2），是否存在垂直于y轴的直线m，使得m被以PM为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PF|=1+r．根据圆P与x轴相切，以及动圆P与定圆F在x轴的同侧，可得方程

x2+(y-1)2

=1+y．从而可求动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值，再利用数形结合求解，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PF|=1+r．
设P（x，y），根据圆P与x轴相切，以及动圆P与定圆F在x轴的同侧，可得r=y＞0，
所以，

x2+(y-1)2

=1+y．
化简得：x²=4y．
所以，动点P的轨迹C的方程为x²=4y（y＞0）．
（Ⅱ）设P(xP，

x 2 P

4

)，则以PM为直径的圆的圆心为Q(

xP

2

，

x 2 P

8

+1)，半径r=

|PM|

2

=

(xP)2+( x 2 P 4 -2)2

2

，
若存在满足题意的直线，设方程为y=a，则圆心到该直线的距离为|

x 2 P

8

+1-a|．
根据勾股定理，可得：该直线被圆所截得的弦长l满足：(

l

2

)2=r2-|

x 2 P

8

+1-a|2，即(l)2=4r2-|

x 2 P

4

+2-2a|2=(xP)2+(

x 2 P

4

-2)2-(

x 2 P

4

+2-2a)2=

x

2 P

(a-1)+8a-4a2
要使l为定值，需且只需a=1．
所以，存在垂直于y轴的直线m：y=1，使得m被以PM为直径的圆截得的弦长恒为定值，定值为2．

点评：本题通过直接法得到抛物线的轨迹方程，有助于学生进一步梳理抛物线的概念，要注意y＞0的发现．第二问实际考查的是直线与圆的位置关系问题，要求学生尽量利用几何条件解题：弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，知二求一．