Question

【题目】如图.已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，且，，，的中点分别是，.

（1）求证：平面；

（2）求二面的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）求证：由证，平面平面证平面.得证，有数据说话得证，可证得平面.，再证明即可

（2），，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面的余弦值.

（1）易知四边形为正方形，.

∵，的中点是，∴.

∵平面平面，平面平面，，

∴平面.

∴.

又∵，

∴平面.

∵，的中点分别是，，∴.

∴平面.

（2）由（1）知，，两两垂直，建立如图的空间直角坐标系.

∵，，∴.

则点，，.

则，.

设平面的一个法向量，

由得得

取，得；

又设平面的一个法向量为，

由得得

取，得.

∴.

由图形得二面角为锐角，∴二面角的余弦值.