Question

（2012•贵州模拟）给出下列四个命题：
（1）命题“若α=

π

4

，则tanα=1”的逆否命题为假命题；
（2）命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
（3）“φ=

π

2

+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin（2x+?）为偶函数”的充要条件；
（4）命题p：“?x₀∈R，使sinx0+cosx0=

3

2

”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q为真命题．
其中正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）先判断原命题的真假，利用原命题与逆否命题的等价性即可判断出；
（2）利用命题p与￢p的关系即可判断出；
（3）利用偶函数的定义及三角函数的最值即可判断出；
（4）先判断命题p、q真假，进而即可判断（￢p）∧q真假．

解答：解：（1）∵命题“若α=

π

4

，则tanα=1”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；
（2）根据“命题p：?x∈R，p（x）成立”的￢p为“?x₀∈R，p（x）的反面成立”，可知正确．
（3）当φ=

π

2

+kπ(k∈Z)时，则函数y=sin（2x+φ）=sin（2x+

π

2

+kπ）=±cos2x为偶函数；
反之也成立．故“φ=

π

2

+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin（2x+?）为偶函数”的充要条件；
（4）∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，故不存在x₀使sinx0+cosx0=

3

2

成立，
∴命题p是假命题，￢p是真命题；
对于命题q：取α=

π

2

，β=π，虽然sin

π

2

=1＞0=sinπ，但是α＜β，故命题q是假命题．
∴（￢p）∧q为假命题，因此（4）不正确．
综上可知：真命题的个数2．
故选B．

点评：熟练掌握命题间的关系、p与￢p、三角函数的奇偶性、有界性和单调性是解题的关键．