Question

17．（1）已知数列{a_n}的前n项之和S_n=n²-2n+1，求a_n．
（2）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足log₂（S_n+1）=n+1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²-2n+1，可得a₁=0；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出．
（2）由数列{a_n}的前n项和S_n满足log₂（S_n+1）=n+1，可得S_n=2ⁿ⁺¹-1．利用递推关系同理可得．

解答 解：（1）∵S_n=n²-2n+1，∴a₁=0；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+1-[（n-1）²-2（n-1）+1]=2n-3．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{2n-3，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足log₂（S_n+1）=n+1，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-1．
∴当n=1时，a₁=2²-1=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的通项公式与前n项和的公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．