Question

7．已知椭圆方程C为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．（a＞b＞0）椭圆的右焦点为（1，0），离心率为e=$\frac{1}{2}$，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且K_OAK_OB=-$\frac{3}{4}$．
（I）求椭圆的C的方程；
（Ⅱ）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，设出A，B的坐标，利用根与系数的关系求出A，B的横纵坐标的乘积，再由k_OAk_OB=-$\frac{3}{4}$得到k与m的关系，利用弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出坐标原点O到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，c=1，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，则a=2，
∴b²=a²-c²=3，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）如图，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵k_OAk_OB=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}•\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}+{m}^{2}}{\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}=-\frac{3}{4}$，
整理得：$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{4{m}^{2}-12}=-\frac{3}{4}$，即2m²=4k²+3．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$．
原点O到直线kx-y+m=0的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}•\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{3}•\frac{3+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和椭圆位置关系的应用，训练了弦长公式及点到直线的距离公式的应用，是中档题．