Question

16．在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则$\frac{λ+1}{μ}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BD}$表示出$\overrightarrow{BE}$，根据三点共线得出λ，μ的关系．

解答 解：∵$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BD}$，∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$=（λ+μ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3μ}{2}$$\overrightarrow{BD}$=（-λ-μ）$\overrightarrow{BA}$+$\frac{3μ}{2}$$\overrightarrow{BD}$．
∵A，D，E三点共线，∴-λ-μ+$\frac{3μ}{2}$=1，∴λ+1=$\frac{μ}{2}$．∴$\frac{λ+1}{μ}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，三点共线原理的应用，属于基础题．