Question

10．已知函数f（x）=e^x（sinx-ax²+2a-e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当$\frac{1}{2}$≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．
（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx-ax²+2a-e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=e^x（sinx-e），
则f′（x）=e^x（sinx-e）+e^xcosx=e^x（sinx-e+cosx），
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜e，
∴sinx+cosx-e＜0
故f′（x）＜0
则f（x）在R上单调递减．
（2）当x≥0时，y=e^x≥1，
要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．
则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx-ax²+2a-e＜0．
设g（a）=sinx-ax²+2a-e=（-x²+2）a+sinx-e，
看作以a为变量的一次函数，
要使sinx-ax²+2a-e＜0，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＜0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx-\frac{1}{2}{x}^{2}+1-e＜0\\;，①}\\{sinx-{x}^{2}+2-e＜0\\;，②}\end{array}\right.$，
∵sinx+1-e＜0恒成立，∴①恒成立，
对于②，令h（x）=sinx-x²+2-e，
则h′（x）=cosx-2x，
设x=t时，h′（x）=0，即cost-2t=0．
∴t=$\frac{cost}{2}＜\frac{1}{2}$，sint＜sin$\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint-t²+2-e=sint-（$\frac{cost}{2}$）²+2-e
=sint-$\frac{1-si{n}^{2}t}{4}$+2-e=$\frac{1}{4}$sin²t+sint+$\frac{7}{4}$-e=（$\frac{sint}{2}$+1）²+$\frac{3}{4}$-e≤（$\frac{5}{4}$）²+$\frac{3}{4}$-e=$\frac{27}{16}$-e＜0，
故④式成立，
综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

点评 本题主要考查函数单调性与导数的应用，求函数的导数，构造函数，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．