Question

20．若$\lim_{n→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（{a+1}）}^n}}}=\frac{1}{3}$，且$\lim_{n→∞}{（{\frac{1-a}{2}}）^n}$存在，则实数a的取值范围是-1≤a＜2．

Answer 1

分析 根据$\lim_{n→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（{a+1}）}^n}}}=\frac{1}{3}$得出-1＜$\frac{a+1}{3}$＜1，再根据$\lim_{n→∞}{（{\frac{1-a}{2}}）^n}$存在得出-1＜$\frac{1-a}{2}$≤1，由此求出实数a的取值范围．

解答 解：∵$\lim_{n→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（{a+1}）}^n}}}=\frac{1}{3}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{3{+（\frac{a+1}{3}）}^{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴-1＜$\frac{a+1}{3}$＜1，
解得-4＜a＜2；
又$\lim_{n→∞}{（{\frac{1-a}{2}}）^n}$存在，
∴-1＜$\frac{1-a}{2}$≤1，
解得-1≤a＜3；
综上，实数a的取值范围是-1≤a＜2．
故答案为：-1≤a＜2．

点评 本题考查了函数的极限与运算问题，解题时应进行化简与转化，是基础题目．