Question

12．已知正实数a，b满足a²-b+4≤0，则u=$\frac{2a+3b}{a+b}$（　　）

• A． 有最大值为$\frac{14}{5}$
• B． 有最小值为$\frac{14}{5}$
• C． 没有最小值
• D． 有最大值为3

Answer 1

分析 a²-b+4≤0，可得b≥a²+4，a，b＞0．可得-$\frac{a}{a+b}$≥-$\frac{a}{{a}^{2}+a+4}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a²-b+4≤0，∴b≥a²+4，a，b＞0．
∴a+b≥a²+a+4，
∴$\frac{a}{a+b}$≤$\frac{a}{{a}^{2}+a+4}$，
∴-$\frac{a}{a+b}$≥-$\frac{a}{{a}^{2}+a+4}$，

∴u=$\frac{2a+3b}{a+b}$=3-$\frac{a}{a+b}$≥3-$\frac{a}{{a}^{2}+a+4}$=3-$\frac{1}{a+\frac{4}{a}+1}$≥3-$\frac{1}{2\sqrt{a•\frac{4}{a}}+1}$=$\frac{14}{5}$，当且仅当a=2，b=8时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．