Question

7．已知数列{a_n}（n=1，2，3，…）满足a_n+1=2a_n，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列，设b_n=3log₂a_n-7．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列的定义可得公比为2，再由等差数列的中项的性质，解方程可得首项为2，可得数列{a_n}的通项公式；再由对数的运算性质可得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）运用等差数列的求和公式，对n讨论，当1≤n≤2时，b_n＜0，即有T_n=-S_n；当n≥3，n∈N，可得T_n=S_n-2S₂，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n，可得{a_n}为等比数列，其公比为2，
a₁，a₂+1，a₃成等差数列，可得2（1+a₂）=a₁+a₃，
即为2（1+2a₁）=a₁+4a₁，解得a₁=2，
即有a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
b_n=3log₂a_n-7=33log₂2ⁿ-7=3n-7；
（Ⅱ）由b_n=3n-7，可得{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n（3n-11），
当1≤n≤2时，b_n＜0，即有T_n=-S_n═$\frac{1}{2}$n（11-3n）；
当n≥3，n∈N，可得T_n=S_n-S₂-S₂=$\frac{1}{2}$n（3n-11）+10=$\frac{3{n}^{2}-11n+20}{2}$．
综上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}-11n}{2}，n=1，2}\\{\frac{3{n}^{2}-11n+20}{2}，n≥3，n∈N}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，同时考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．