Question

2．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，给出以下命题：
①直线A₁B与AC所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
②动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为$\sqrt{10}$；
③该长方体的外接球的表面积为6π；
则上述命题中正确的有①③（填写所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①平移直线，转化为直线A₁B与AC所成的角为∠C₁A₁B，利用余弦定理求解；
②根据平面展开图求解即可；
③先求出外接求体的直径，进而求出表面积．

解答 解：①直线A₁B与AC所成的角为∠C₁A₁B，
故cos∠C₁A₁B=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，故正确；
②动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为平面展开图中AC₁=2$\sqrt{2}$，故错误；
③该长方体的外接球的直径为对角线AC₁=$\sqrt{6}$，
故表面积为6π，故正确．
故答案为：①③．

点评 考查了长方体线面角，平面展开图和外接球体的性质．