Question

15．设x，y，z是正实数且满足x+y+z=1，求证：
$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$+$\frac{yz}{\sqrt{yz+xz}}$+$\frac{xz}{\sqrt{xz+xy}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由x，y，z是正实数且满足x+y+z=1，将不等式左边平方，变形后运用柯西不等式，可得（$\sqrt{x+y}$•$\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}•\sqrt{x+z}}$+$\sqrt{y+z}$•$\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{y+z}•\sqrt{y+x}}$+$\sqrt{z+x}$•$\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{z+x}•\sqrt{z+y}}$）²≤（x+y+y+z+z+x）（$\frac{{x}^{2}y}{（x+y）（x+z）}$+$\frac{{y}^{2}z}{（y+z）（y+x）}$+$\frac{{z}^{2}x}{（z+x）（z+y）}$），化简整理后，运用分析法，证明即可得到．

解答 证明：由x，y，z是正实数且满足x+y+z=1，
可得（$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$+$\frac{yz}{\sqrt{yz+xz}}$+$\frac{xz}{\sqrt{xz+xy}}$）²=（$\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{x+z}}$+$\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{y+x}}$+$\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{z+y}}$）²
=（$\sqrt{x+y}$•$\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}•\sqrt{x+z}}$+$\sqrt{y+z}$•$\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{y+z}•\sqrt{y+x}}$+$\sqrt{z+x}$•$\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{z+x}•\sqrt{z+y}}$）²
≤（x+y+y+z+z+x）（$\frac{{x}^{2}y}{（x+y）（x+z）}$+$\frac{{y}^{2}z}{（y+z）（y+x）}$+$\frac{{z}^{2}x}{（z+x）（z+y）}$）
=2（x+y+z）（$\frac{{x}^{2}y}{（x+y）（x+z）}$+$\frac{{y}^{2}z}{（y+z）（y+x）}$+$\frac{{z}^{2}x}{（z+x）（z+y）}$）
=2（$\frac{{x}^{2}y}{（x+y）（x+z）}$+$\frac{{y}^{2}z}{（y+z）（y+x）}$+$\frac{{z}^{2}x}{（z+x）（z+y）}$），
只需证2（$\frac{{x}^{2}y}{（x+y）（x+z）}$+$\frac{{y}^{2}z}{（y+z）（y+x）}$+$\frac{{z}^{2}x}{（z+x）（z+y）}$）≤$\frac{1}{2}$，
即证4[x²y（y+z）+y²z（x+z）+z²x（x+y）]≤（x+y）（y+z）（z+x）（x+y+z），
即有x³y+xy³+y³z+yz³+z³x+zx³-2（x²y²+y²z²+z²x²）≥0，
即为xy（x-y）²+yz（y-z）²+zx（z-x）²≥0，
上式显然成立，当且仅当x=y=z取得等号．
故原不等式$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}$+$\frac{yz}{\sqrt{yz+xz}}$+$\frac{xz}{\sqrt{xz+xy}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查化简整理和推理能力，属于难题．