Question

4．已知集合A是函数g（x）=log_a[-（x-2a）（x-a）]（a＞0，且a≠1）的定义域，集合B和集合C分别是函数$f（x）=\sqrt{9-{3^x}}$的定义域和值域．
（1）求集合A，B，C；
（2）若A∪C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A，根据二次根式的性质求出集合B、C即可；（2）若A∪C=C，则A⊆C，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由-（x-2a）（x-a）＞0得（x-2a）（x-a）＜0，又因为a＞0，且a≠1
所以a＜x＜2a，所以A=（a，2a）…（2分）
对于函数$f（x）=\sqrt{9-{3^x}}$，由9-3^x≥0得x≤2，B=[2，+∞）…（4分）
所以0＜3^x≤9，0≤9-3^x＜9，所以$f（x）=\sqrt{9-{3^x}}∈[{0，3}）$，C=[0，3）…（6分）
（2）若A∪C=C，则A⊆C，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠1}\\{2a≤3}\end{array}}\right.$⇒$0＜a≤\frac{3}{2}$且a≠1，
所以实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{3}{2}$且a≠1．…（12分）

点评 本题考查了函数的定义域问题，考查集合的包含关系，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道中档题．