Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）设向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）根据数量积的计算公式即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，而由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$即可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$；
（2）同理可以求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值，而可求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=-3$，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出cosθ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos120°$=$1×2×（-\frac{1}{2}）=-1$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={1}^{2}+2×（-1）+{2}^{2}=3$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$；
（2）同理可求得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}={1}^{2}-{2}^{2}=-3$；
∴$cosθ=\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$-\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，根据$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．