Question

5．已知函数$f（x）=4sinxcos（{x+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}$．x∈R，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值及取得最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）先化简函数，即可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象，即可求出f（x）的最大值和最小值及取得最值时对应的x的值．

解答 解：（1）f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\sqrt{3}$=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{4}$时，f（x）的最小值为-$\sqrt{3}$，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）的最大值为2．

点评 本题考查三角函数的基本性质的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．