Question

20．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求F（x）的零点
（2）若关于x的方程F（x）=2m²-3m-5在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简F（x）=2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$，由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$确定函数F（x）的定义域，从而在定义域内确定方程F（x）=0的解即可．
（2）y=x+1与y=$\frac{1}{1-x}$在区间[0，1）上均为增函数，从而由复合函数单调性确定函数的单调性，从而分类讨论即可．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，
∴F（x）=2f（x）+g（x）
=2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$解得，
函数F（x）的定义域为（-1，1），
令F（x）=0得，
2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$=0，
故2log_a（x+1）=log_a（1-x），
故（x+1）²=1-x，
故x²+3x=0，
解得，x=0或x=-3，
故F（x）的零点为0；
（2）∵y=x+1与y=$\frac{1}{1-x}$在区间[0，1）上均为增函数，
∴根据复合函数单调性知，
①当a＞1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在区间[0，1）上是增函数，
②当0＜a＜1时，函数F（x）=2f（x）+g（x）在区间[0，1）上是减函数；
∴关于x的方程F（x）=2m²-3m-5在区间[0，1）最多有一解，
∵关于x的方程F（x）=2m²-3m-5在区间[0，1）内仅有一解，
①当a＞1时，函数F（x）在区间[0，1）上是增函数且F（0）=0，
$\underset{lim}{x→1}$F（x）=+∞，
故只需使2m²-3m-5≥0，
解得，m≤-1或m≥$\frac{5}{2}$；
②当0＜a＜1时，函数F（x）在区间[0，1）上是减函数且F（0）=0，
$\underset{lim}{x→1}$F（x）=-∞，
故只需使2m²-3m-5≤0，
解得，-1≤m≤$\frac{5}{2}$；
综上所述，当a＞1时，m≤-1或m≥$\frac{5}{2}$；
当0＜a＜1时，-1≤m≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及分类讨论的思想应用．