Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0）B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①

GA

+

GB

+

GC

=

0

；②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；③

GM

∥

AB

．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点E，F，求△OEF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）分别设出点C、G、M的坐标，利用条件|

MA

|=|

MB

|求出M的横坐标，结合

GM

∥

AB

可得G和M的纵坐标相等，然后利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

把G和M的坐标用C的坐标表示，代入|

MB

|=|

MC

|即可得到C的轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到E、F两点的横坐标的和与积，写出面积后得到关于直线斜率k的表达式，利用换元法降幂，然后利用导数求最值．

解答：（1）解：设C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_M，y_M）．
∵|

MA

|=|

MB

|，
∴M点在线段AB的中垂线上．由已知A（-1，0），B（1，0），∴x_M=0．
又∵

GM

∥

AB

，∴y_M=y₀．又

GA

+

GB

+

GC

=

0

，
∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x0=

x

3

，y0=

y

3

，∴yM=

y

3

． 
∵|MB|=|MC|，∴

(0-1)2+( y 3 -0)2

=

(0-x)2+( y 3 -y)2

，
∴x2+

y2

3

=1（y≠0），∴顶点C轨迹方程为x2+

y2

3

=1（y≠0）．
（2）设直线l方程为：y=k（x-3）（k≠0），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

y=k(x-3) x2+ y2 3 =1

，消去y得：（k²+3）x²-6k²x+9k²-3=0   ①
∴x1+x2=

6k2

k2+3

，x1x2=

9k2-3

k2+3

． 
由方程①知△=（6k²）²-4（k²+3）（9k²-3）＞0，
∴k²＜

3

8

，∵k≠0，∴0＜k²＜

3

8

．  
而S△ABC=

1

2

×3×|y1-y2|=

3

2

×|k|•|x1-x2|=

3|k|

2

(x1+x2)2-x1x2

=

3|k|

2(k2+3)

36-96k2

=3

9k2-24k4 k4+6k2+9

．
令k²=t，则t∈(0，

3

8

)，S△ABC=3

9t-24t2 t2+6t+9

．记f(t)=

9t-24t2

(t+3)2

(0＜t＜

3

8

)，
求导后可得当t=

3

17

时△OEF面积有最大值为

3

2

．

点评：本题考查了向量在几何中的应用，是直线与圆锥曲线的综合题，训练了“设而不求”的解题思想方法，训练了换元法，考查了导数在求最值中的作用，该题涉及条件多，解答的关键是找准入手点，是有一定难度题目．