Question

如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，

SD垂直于底面ABCD，SB=.

   （I）求证BCSC；

   （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

   （III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.

Answer 1

（I）证明见解析（II）45°（III）90°

解析:

[方法一]：（几何法）

（I）证法一：如图1，∵底面ABCD是正方形，  ∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，               

由三垂线定理得BC⊥SC. …………3分

证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形，  ∴BC⊥DC.          

∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，                     图1

∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC. …………3分

（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，

∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S—ABCD，

如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，

∵SC⊥BC，BC//A₁S， ∴SC⊥A₁S，

又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°. ……………8分

解法二：如图3，过点S作直线在面ASD上，

∵底面ABCD为正方形，在面BSC上，

为面ASD与面BSC的交线.

∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，

 由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角

为 45°。…8分

（III）解法一：如图3， ∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA是等腰直角三角形.

又M是斜边SA的中点，  ∴DM⊥SA. 

∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.

由三垂线定理得DM⊥SB.  ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分

解法二：如图4，取AB中点P，连结MP，DP.

在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，是异面直线DM与SB所成的角.

，

又

∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 

即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分

[方法二]：（向量法）

解析：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

M（，0，），

∵　SB=，DB=，SD=1，∴　S（0，0，1），……………2分

（I）证明：∵　 ，

=0   ∴　，即BCSC．……………5分

（II）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为，设平面BSC的法向量为，由，

得，

∴　面ASD与面BSC所成的二面角为45°．……………10分

（III）设异面直线DM与SB所成角为α，

∵　，SB=(-1,-1,1),得

∴　异面直线DM与SB所成角为90°．……………14分