Question

定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．
（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．
（3）证明：，.

Answer 1

试题分析：（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.
试题解析：（1）令，
令，则.
所以，在上是奇函数．               4分
（2）设，则
，            6分
而，，        7分
即当时，．
∴在上单调递减．                8分
（3）



，
，
.
.             13分