Question

已知|

p

|=2

2

，|

q

|=3，

p

与

q

的夹角为

π

4

，则以  

a

=5

p

+2

q

，

b

=

p

-3

q

为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是（　　）

• A．15
• B．

  15

• C．4
• D．

  14

Answer 1

分析：以

a

、

b

为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线分别为

a

+

b

，

a

-

b

，分别求出他们的模，然后进行比较，即可得到结论．

解答：解：以

a

、

b

 为邻边的平行四边行的两对角线之长可分别记为|

a

+

b

|，|

a

-

b

|，
∵|

p

|=2

2

，|

q

|=3，

p

与

q

的夹角为

π

4

，则以  

a

=5

p

+2

q

，

b

=

p

-3

q

，
∴

a

+

b

=6

p

-

q

，
|

a

+

b

|=

(6 p - q )2

=

36 p 2-12 p • q + q 2

=

36×8-12×2 2 ×3×cos π 4 +9

=15．

a

-

b

=4

p

+5

q

，
|

a

-

b

|=

(4 p +5 q )2

=

16 p 2+40 p • q +25 q 2

=

16×8+40×2 2 ×3×cos π 4 +25×9

=

593

，
∵15＜

593

，
∴长度较小的对角线的长是15．
故选A．

点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、向量的数量积的定义式以及向量的模计算公式．体现了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力，此题是个中档题．