Question

给出下列四个命题；其中所有正确命题的序号是

①，②，③（多写少写均作0分）

①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．

Answer 1

分析：根奇函数的定义得到①正确，根据反函数的做法和定义域与值域得到②正确，根据若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的域是R，则等价于真数可以取到所有的正数，得到真数对应的二次函数的判别式大于0，，得到a≤-4或a≥0，故③正确．根据函数图象的平移得到④不正确．

解答：解：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx+c变为f（x）=x|x|+bx得到奇函数
当函数是一个奇函数时，根据f（-x）=-f（x），得到c=0，
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0，故①正确，
函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1），故②正确，
若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则等价于真数可以取到所有的正数，
得到真数对应的二次函数的判别式大于0，，得到a≤-4或a≥0，故③正确．
当函数y=f（x-1）是偶函数，它的对称轴是y轴，
则函数y=f（x）的图象向左平移一个单位，关于直线x=-1对称，故④不正确，
综上可知①②③正确，
故答案为：①②③

点评：本题考查命题真假的判断，本题解题的关键是作对③，对数函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则等价于真数可以取到所有的正数，这一点不好理解．是一个易错题．