Question

已知定义在R上的函数f（x）=asin（ωx）+bcos（ωx），（ω＞0）的周期为π，且f( x )≤f( 

π

12

 )=4．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设互不相等的实数x₁，x₂∈（0，2π），且f（x₁）=f（x₂）=-2，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的周期做出ω=2，根据f( x )≤f( 

π

12

 )=4．得到关于a，b的方程组，求出对应的三角函数解析式．
（2）根据求出的代数式，使得函数值等于-2，写出对应的x的值，根据要求的角的范围，写出符合题意的结果．

解答：解：（1）∵T=π，ω＞0，
∴ω=2；
又∵f(x)≤f( 

π

12

 )=4，
∴

a2+b2=16 a+ 3 b=8

?

a=2 b=2 3

?f(x)=2sin2x+2

3

cos2x．
（2）从（1）得：f ( x )=4sin ( 2x+

π

3

 )，当4sin ( 2x+

π

3

 )=-2 时，有2x+

π

3

=2kπ-

π

6

 ， 或 2x+

π

3

=2kπ+

7π

6

 ( k∈Z )，
则x=kπ-

π

4

或x=kπ+

5π

12

( k∈Z )，
又x∈（0，2π），x=

3π

4

 ， x=

7π

4

 ， x=

5π

12

 ， x=

17π

12

，
又x₁≠x₂，
∴x₁+x₂=

5π

2

或

7π

6

或

11π

6

或

13π

6

或

19π

6

．

点评：本题考查三角函数的解析式的写法和解析式的应用，本题解题的关键是构造方程组．利用方程组来求解解析式．