Question

（理科）如图，圆C：（x-2）²+y²=1，点Q是圆C上任意一点，M是线段OQ的中点．
（1）试求点M的轨迹方程．
（2）求轨迹所围成的图形的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）取OC的中点P，由题意得到PM∥CQ，且PM∥CQ，|PM|=

1

2

|CQ|，故|PM|=

1

2

，可得M点的轨迹，从而得到圆的标准方程；
（2）利用圆的面积公式可得结论．

解答： 解：（1）设M（x，y），取OC的中点P，则点P的坐标为（1，0），连接PM，CQ，则
PM∥CQ，|PM|=

1

2

|CQ|，故|PM|=

1

2

，
∴M点的轨迹是以点P为圆心，

1

2

为半径的圆，
∴M点的轨迹方程是（x-1）²+y²=

1

4

；
（2）轨迹所围成的图形的面积S=

1

4

π．

点评：本题考查圆的定义和标准方程，三角形的中位线的性质，得到PM∥CQ，|PM|=

1

2

|CQ|，是解题的关键．