Question

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量=（sinx，2），=（2sinx，），=（cos2x，1），=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（•）＞f（•）的解集．

Answer 1

解：设f（x）的二次项系数为m，m≠0，
设其图象上两点为（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因为=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵=（sinx，2）•（2sinx，）=2sin²x+1≥1，=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①当m＞0时，f（）＞f（）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+＜2x＜2kπ+π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴＜x＜π．
②当m＜0时，同理可得0≤x＜＜或π＜x≤π．
综上：f（）＞f（）的解集是：
当m＞0时，为{x|＜x＜π}；
当m＜0时，为{x|0≤x＜＜，或π＜x≤π}．
分析：由f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立得其对称轴，结合二次项系数的符号可得其单调性
通过计算，，从而确定它们所在的单调区间，由此解得x的范围．
点评：本题是个中档题，主要考查二次函数的性质，同时考查了向量的数量积运算和三角恒等变换，解三角不等式．注意分类讨论的思想的应用．