Question

1．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF₁F₂的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF₁F₂的重心为G，满足MG∥F₁F₂，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设P（s，t）（s，t＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a，再结合双曲线的定义和等积法，求得|PF₂|=2c-a，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得s=2a，将P的坐标代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：设P（s，t）（s，t＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得重心G（$\frac{s-c+c}{3}$，$\frac{t}{3}$）即（$\frac{s}{3}$，$\frac{t}{3}$），
设△PF₁F₂的内切圆与边F₁F₂的切点N，与边PF₁的切点为K，
与边PF₂上的切点为Q，
则△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．
由双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a．①
由圆的切线性质|PF₁|-PF₂|=|F_IK|-|F₂Q|=|F₁N|-|F₂N|=2a，
∵|F₁N|+|F₂N|=|F₁F₂|=2c，∴|F₂N|=c-a，|ON|=a，
即有M（a，a），
由MG∥F₁F₂，
则△PF₁F₂的重心为G（$\frac{s}{3}$，a），即t=3a，
由△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$•2c•3a=$\frac{1}{2}$a（|PF₁|+|PF₂|+2c），
可得|PF₁|+|PF₂|=4c②
由①②可得|PF₂|=2c-a，
由右准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，双曲线的第二定义可得
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{s-\frac{{a}^{2}}{c}}$，解得s=2a，
即有P（2a，3a），代入双曲线的方程可得
$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得b=$\sqrt{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．