Question

10．已知x＞0，y＞0，a=x+y，$b=\sqrt{{x^2}+xy+{y^2}}$，$c=m\sqrt{xy}$，若存在正数m使得对于任意正数x，y，可使a，b，c为三角形的三边构成三角形，则m的取值范围是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 首先判断a＞b，由构成三角形的条件可得b+c＞a且a+b＞c，即有$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$+m$\sqrt{xy}$＞x+y且x+y+$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$＞m$\sqrt{xy}$．运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性，可得最值，进而得到m的范围．

解答 解：x＞0，y＞0，a=x+y，$b=\sqrt{{x^2}+xy+{y^2}}$，$c=m\sqrt{xy}$，
由a²-b²=（x+y）²-（x²+xy+y²）=xy＞0，
可得a＞b，
由题意可得要构成三角形，必须
b+c＞a且a+b＞c，
即有$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$+m$\sqrt{xy}$＞x+y
且x+y+$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$＞m$\sqrt{xy}$．
由m＜$\frac{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$，
$\frac{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy+xy}}{\sqrt{xy}}$=2+$\sqrt{3}$，
当且仅当x=y取得等号．
可得m＜2+$\sqrt{3}$①
由m＞$\frac{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$，
$\frac{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$=$\sqrt{\frac{x}{y}}$+$\sqrt{\frac{y}{x}}$-$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1}$，
令u=$\sqrt{\frac{x}{y}}$，则上式为u+$\frac{1}{u}$-$\sqrt{{u}^{2}+\frac{1}{{u}^{2}}+1}$．
可令t=u+$\frac{1}{u}$（t≥2），可得上式为t-$\sqrt{{t}^{2}-1}$=$\frac{1}{t+\sqrt{{t}^{2}-1}}$，
可得在[2，+∞）递减，可得t-$\sqrt{{t}^{2}-1}$≤2-$\sqrt{3}$，
即有m＞2-$\sqrt{3}$②
由①②可得m的取值范围是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．
故答案为：（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查构成三角形的条件，注意运用转化思想，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用基本不等式，同时考查换元法和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．