Question

19．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x-y-1≤0}\\{y＞0}\end{array}\right.$，且z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的几何意义，即向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OP}$夹角的余弦值的$\sqrt{5}$倍求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≥0}\\{x-y-1≤0}\\{y＞0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

设A（2，1），可行域内的动点P（x，y），
则cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{5}}$．
z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{5}•\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{5}}$．
其几何意义为向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OP}$夹角的余弦值的$\sqrt{5}$倍，
∴当P与A重合时，z=$\frac{2x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$有最大值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是难题．