Question

已知圆O：x²+y²=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且

EG

=3

HE

，试求此时弦PQ的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

a=2 2 a2 c =4

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为(x+2)2+(y-

m

2

)2=

m2

4

+4，与圆O：x²+y²=8联立消去x²，y²，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则

x12+2y12=8 x22+2y22=8

，由

EG

=3

HE

，知（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），由此入手能够求出弦PQ的长．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则：

a=2 2 a2 c =4

，从而：

a=2 2 c=2

，故b=2，所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（3分）
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为(x+2)2+(y-

m

2

)2=

m2

4

+4与圆O：x²+y²=8联立消去x²，y²得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）．（7分）
（Ⅲ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则

x12+2y12=8 x22+2y22=8

，①
∵

EG

=3

HE

，∴（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），即：

x1=-8-3x2 y1=-3y2

，
代入①解得：

x2=- 8 3 y2=± 2 3

（舍去正值），∴k_PQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=

2

，
∴PQ=2

R2-d2

=2

6

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．