Question

已知一几何体的三视图如图，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：先由其三视图得到原图形为一直四棱锥，高为6，底面是边长为6的正方形，顶点在点A的正上方．
（1）直接过做AE⊥SB于E，根据BC⊥AB以及其为直四棱锥先得到BC⊥AE；再结合AE⊥SB，即可知道求点A到面SBC的距离即为求AE的长，最后在RT△SAB中求出AE的长即可；
（2）先画出大致图象，根据相似比找到高和底面边长之间的惯技，代入体积计算公式，结合导函数知识即可求出当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值．

解答：解：由其三视图得：原图形为一直四棱锥，高为6，底面是边长为6的正方形，顶点在点A的正上方．如图①．
（1）过A做AE⊥SB于E，
因为BC⊥AB，且为直棱锥
所以BC⊥面SAB⇒BC⊥AE   
所以有AE⊥面SCB．
在RT△SAB中，因为两直角边均为6，而且 AE为斜边上的高，所以AE=3

2

．
∴点A到面SBC的距离：3

2

．
（2）如图②，设AF=a，KF=h．
则有

KF

AB

=

SF

SA

⇒KF=SF⇒6-h=a．
所以所求体积：V=S•h=a²•h=a²•（6-a）=6a²-a³．
∴V′=12a-3a²=3a（4-a）．
当a＞4时，V′＜0，
当0＜a＜4时，V′＞0．
∴当a=4时，此时h=2，体积V取最大值，其最大值为：V=6×4²-4³=32．
所以当棱柱的底面边长为4，高为2时，棱柱的体积最大，最大值为32．

点评：本题主要考查学生对空间几何体三视图的理解，考查学生的空间想象能力以及运算求解能力．由三视图还原空间几何体的实际形状，一般先从正视图和俯视图考虑，再结合侧视图进行综合分析．