Question

（本小题满分12分）

已知函数，其中。

（1）当满足什么条件时，取得极值?

（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。

Answer 1

（1）

（2）当时，；当时，。

解析:

（1）由已知得，令，得，

要取得极值，方程必须有解，

所以△，即，此时方程的根为

，，

所以。

当时，

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值；

当时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值。

综上，当满足时，取得极值。

（2）要使在区间上单调递增，需使在上恒成立。

即恒成立，所以

设，，

令得或(舍去)，

当时，，当时，单调增函数；

当时,单调减函数，

所以当时，取得最大,最大值为。

所以

当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，当时最大，最大值为，所以

综上，当时，；当时，。