Question

（2009•淄博一模）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率e=

2

2

，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F（E在B、F之间）且

BE

=λ

BF

，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的离心率e=

2

2

，且经过抛物线x²=4y的焦点，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线l方程，与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0，可得m的一个范围，设出E，F的坐标，利用向量知识及韦达定理，即可求得实数λ的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率e=

2

2

，且经过抛物线x²=4y的焦点
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∴a²=2
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，
设l方程为x=my+2（m≠0）①，代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则
∵

BE

=λ

BF

，（x₁-2，y₁）=λ（x₂-2，y₂），
∴y₁=λy₂，
∵y1+y2=

-4m

m2+2

，y1y2=

2

m2+2

∴

(1+λ)2

λ

=

8m2

m2+2

=

8

1+ 2 m2

∵m²＞2，∴4＜

8

1+ 2 m2

＜8
∴4＜

(1+λ)2

λ

＜8
∵λ＞0
∴3-2

2

＜λ＜3+2

2

且λ≠1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的标准方程，考查韦达定理的运用．应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化是解题的关键．