Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB⊥CD，AD∥BC，AD=3，BC=2AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）若BE= ，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且 ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，
FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起过程中，AF⊥EF，同时FD∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
当BE= 时，F（0，0，0），A（0，0， ），D（0， ，0），C（1， ，0），
平面ABEF的法向量 =（0， ，0），
∵ = ，∴ = + = ，
∴P（0， ， ），
∴ =（﹣1， ， ），
∵CP∥平面ABEF，∴ = =0，
解得 ，
∴线段AD上点P（0， ），且 ，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）设BE=x，则AF=x（0＜x≤2），FD=3﹣x，
∴VA﹣CDF= = =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x= 时，VA﹣CDF有最大值，且最大值为 ，
∴A（0，0， ），C（1， ，0），D（0， ，0），E（1，0，0），
∴ =（1，0，﹣ ）， =（1， ，﹣ ）， =（0，0， ）， =（1， ，0），
设平面AEC的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，取x=3，得 =（3，0，2），
设平面ACF的一个法向量 =（a，b，c），
则 ，取a=1，得 =（1，﹣2，0），
cos＜ ， ＞= = = ．
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出FD⊥EF，FD⊥AF，以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AD上存在点P（0， ）， ，使得CP∥平面ABEF．（Ⅱ）设BE=x，则AF=x（0＜x≤2），FD=3﹣x，推导出当x= 时，VA﹣CDF有最大值，且最大值为 ，求出此时平面AEC的一个法向量和平面ACF的一个法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．