【题目】设函数f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R.
(1)若函数f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|的最小值,并求取的最小值时x的取值范围;
(2)若g(x)= 的定义域为R,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由绝对值三角不等式可得,
f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2,
当且仅当 .即 ,即x∈[ , ]]时等号成立,故f(x)的最小值为2
(2)解:g(x)= 的定义域为R等价于f(x)+m≠0在R上恒成立,
即f(x)+m=0在R上无解,所以m>﹣2,即实数m的取值范围为(﹣2,+∞)
【解析】(1)根据绝对值不等式的解法,进行求解即可.(2)将g(x)= 的定义域为R,转化为(x)+m≠0在R上恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,结合函数的最值进行求解即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识,掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE= ,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且 ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值,并求此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
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【题目】设函数 .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其图象上任意一点P(x0 , y0)处切线的斜率 恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=2,试求f(x)在区间 上的最大值.
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【题目】设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R
(1)证明:函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R的图象恒经过一个定点;
(2)若函数h(x)= f′(x)在(0,+∞)有定义,且不等式h(x)≤0在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.
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【题目】抛物线的焦点为上任一点在轴上的射影为中点为,.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)直线过与从下到上依次交于,与交于,直线过与从下到上依次交于,与交于,,的斜率之积为,设的面积分别为,是否存在使得成等比数列?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】设函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R
(1)证明:函数f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R的图象恒经过一个定点;
(2)若函数h(x)= f′(x)在(0,+∞)有定义,且不等式h(x)≤0在(0,+∞)上有解,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,| |=4, =12,E为AC的中点.
(1)若cos∠ABC= ,求△ABC的面积S△ABC;
(2)若 =2 ,求 的值.
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