Question

【题目】抛物线的焦点为上任一点在轴上的射影为中点为，．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线过与从下到上依次交于，与交于，直线过与从下到上依次交于，与交于，，的斜率之积为，设的面积分别为，是否存在使得成等比数列？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在，证明见解析.

【解析】

（1）求出拋物线焦点坐标，设，则，再设，由，可得与坐标的关系，再由在抛物线上求得动点的轨迹的方程；(2)存在,使得成等比数列，的斜率存在，分别设为，则，，利用三角形面积公式，结合韦达定理分别求出的面积，求得、.即可得到,进而得解。

（1）由抛物线，得，设，则，

再设，

由，

得，

，则，

在抛物线上，

，即；

（2）存在，使得成等比数列.

证明如下：由题意可知，的斜率存在，分别设为，则，

直线

联立，得.

设.

则，同理，

设，

则

.

联立，可得，得，

则，同理.

.

，

成等比数列，

存在，使得成等比数列.