Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F在PC、AC上，PE=$\frac{1}{4}$PC．
（I）若EF∥平面PBD，求的$\frac{AF}{AC}$的值；
（II）若PA=AB，三棱锥C-BDE的体积为8，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （1）设AB，BD交于点G，连结PG，利用线面平行的性质可得EF∥PG，在利用相似三角形得出$\frac{CF}{FG}$，再根据G是AC中点推出$\frac{AF}{AC}$．
（2）根据体积列出方程解出底面边长．

解答 解：（1）设AB，BD交于点G，连结PG，∵EF∥平面PBD，EF?平面PAC，平面PAC∩平面PBD=PG，
∴EF∥PG，∴△CEF∽△CPG，∴$\frac{CF}{CG}=\frac{CE}{PC}$=$\frac{3}{4}$．
∵底面ABCD是正方形，∴AG=CG，∴$\frac{CF}{AC}=\frac{3}{8}$．∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{5}{8}$．
（2）设底面ABCD的边长为x．则S_△BCD=$\frac{{x}^{2}}{2}$，PA=x，
∴V_棱锥C-BDE=$\frac{1}{3}$×S_△BCD×$\frac{3}{4}$x=$\frac{{x}^{3}}{8}$=8，∴x=4．
∴正方形ABCD的边长是4．

点评 本题考查了线面平行的性质，相似三角形，棱锥的体积，属于中档题．