Question

13．有下列命题：
①当λ∈R，且$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$时，λ$\overrightarrow{{a}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+λ$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$；
②当λ₁，λ₂，…，λ_n∈R，且λ₁+λ₂+…+λ_n=0时，λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{a}$+…+λ_n$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$；
③当λ₁，λ₂，…λ_n∈R，且λ₁+λ₂+…+λ_n=0时，$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$是n个向量，且$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$，则λ$\overrightarrow{{a}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+λ$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$．
其中真命题有①②．

Answer 1

分析 根据向量数乘运算的运算律，结合平面向量的基本定理，逐一分析三个结论的真假，可得答案．

解答 解：①当λ∈R，且$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$时，λ$\overrightarrow{{a}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+λ$\overrightarrow{{a}_{n}}$=λ（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$）=λ$\overrightarrow{0}$=$\overrightarrow{0}$，故正确；
②当λ₁，λ₂，…，λ_n∈R，且λ₁+λ₂+…+λ_n=0时，λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{a}$+…+λ_n$\overrightarrow{a}$=（λ₁+λ₂+…+λ_n）$\overrightarrow{a}$=0$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，故正确；
③当λ₁，λ₂，…λ_n∈R，且λ₁+λ₂+…+λ_n=0时，$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$是n个向量，且$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$，则λ$\overrightarrow{{a}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+λ$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$不一定成立，故错误．
故真命题有：①②

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了平面向量的基本定理，向量数乘运算的分配律，难度中档．