Question

14．抛物线y²=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{BF}$，则△AOB（O为坐标原点）面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，
y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{BA}$=4$\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{{y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．