Question

9．已知函数f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sinx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）设α∈（-π，0），且f（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{13}{5}$，求sin（2α+$\frac{π}{12}$）值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）+1，利用周期公式可求函数f（x）的最小正周期，利用余弦函数的图象和性质可求f（x）的值域．
（2）由α∈（-π，0），且f（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{13}{5}$，可求cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，解得sin（α+$\frac{π}{6}$）=±$\frac{3}{5}$，讨论可求sin2（α+$\frac{π}{6}$），cos2（α+$\frac{π}{6}$）的值，由sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]即可计算求值．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sinx=1+cosx-$\sqrt{3}$sinx=2cos（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为2π．
∵cos（x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）+1∈[-1，3]．
（2）∵α∈（-π，0），且f（α-$\frac{π}{6}$）=2cos（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{13}{5}$，
∴解得：α+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$），cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=±$\frac{3}{5}$，
①当sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$时，
∴sin2（α+$\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
cos2（α+$\frac{π}{6}$）=cos²（α+$\frac{π}{6}$）-sin²（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{24}{25}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{7}{25}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
②当sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$时，
∴sin2（α+$\frac{π}{6}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{24}{25}$，
cos2（α+$\frac{π}{6}$）=cos²（α+$\frac{π}{6}$）-sin²（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{12}$）=sin[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{24}{25}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{7}{25}$=-$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，考查了计算能力和分类讨论思想，考查了转化思想，属于基本知识的考查．