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(08年成都七中二模理) 如图,直四棱柱ABCD―A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,

AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点.

   (1)求证:平面O1AC平面O1BD

   (2)求二面角O1-BC-D的大小;

   (3)求点E到平面O1BC的距离.

 

解析:(1)∵ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又OO1//AA1,AA⊥平面ABCD,

    OO1⊥平面ABCD,∴BD⊥OO1,OO1AC=O,

    ∴BD⊥平面O1AC,平面O1BD⊥平面O1AC……4分

   (2)过O作OF⊥BC于F,连接O1F

∵OO1⊥面AC,∴BC⊥O1F

∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,

∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.在Rt△O1OF在,tan∠O1FO=

∴∠O1FO=60° 即二面角O1―BC―D为60°……8分

(3)在△O1AC中,OE是△O1AC的中位线,∴OE∥O1C

∴OE∥O1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交线O1F.

过O作OH⊥O1F于H,则OH是点O到面O1BC的距离,

∴OH=∴点E到面O1BC的距离等于……12分

  

解法二:(2)∵OO1⊥平面AC,∴OO1⊥OA,OO1⊥OB,

又OA⊥OB,建立如图所示的空间直角坐标系(如图)

∵底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形,

∴OA=2,OB=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),

C(-2,0,0),O1(0,0,3)

设平面O1BC的法向量为=(x,y,z),

,则z=2,则x=-,y=3,

=(-,3,2),

而平面AC的法向量=(0,0,3)∴cos<>=

设O1-BC-D的平面角为α,

∴cosα=∴α=60°. 故二面角O1-BC-D为60°.

(3)设点E到平面O1BC的距离为d,

∵E是O1A的中点,∴=(-,0,),

则d=∴点E到面O1BC的距离等于

 

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